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不等式解法的基本思路(復雜簡單總結)

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不等式解法的基本思路(復雜簡單總結)

一.知識歸納總結

1.解不等式的過程,實質上是同解不等式逐步代換化簡原不等式的過程,因而保持同解變形就成為解不等式應遵循的主要原則,實際上高中階段所解的不等式最后都要轉化為一元一次不等式或一元二次不等式,所以等價轉化是解不等式的主要思路.代數化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.為此,一要能熟練準確地解一元一次不等式和一元二次不等式,二要保證每步轉化都要是等價變形.

2.不等式組的解集是本組各不等式解集的交集,所以在解不等式組時,先要解出本組內各不等式的解集,然后取其交集,在取交集時,一定要利用數軸,將本組內各不等式的解集在同一數軸上表示出來,注意同一不等式解的示意線要一樣高,不要將一個不等式解集的兩個或幾個區間誤看成是兩個或幾個不等式的解集.

3.集合的思想和方法在解不等式問題中有廣泛的應用,其難點是區分何時取交集,何時取并集.解不等式的另一個難點是含字母系數的不等式求解—注意分類.

二.簡單的一元高次不等式:可用區間法(或稱根軸法)求解,其步驟是:

  ①將f(x)的最高次項的系數化為正數;

  ②將f(x)分解為若干個一次因式的積;

  ③將每一個一次因式的根標在數軸上,從右上方依次通過每一點畫曲線;

  ④根據曲線顯示出的f(x)值的符號變化規律,寫出不等式的解集.


三、經典例題導講

[例1] 如果kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,則實數k的取值范圍是___.

A. -1≤k≤0   B. -1≤k<0   C. -1D. -1<0

錯解:由題意:

解得:-1<0

錯因:將kx2+2kx-(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式,忽略了k=0的情況.

正解:當k=0時,原不等式等價于-2<0,顯然恒成立,所以 k=0符合題意.

當k不等于0時,由題意:

解得:-1<0

故選C.

 [例2] 命題

若A是B的充分不必要條件,則a的取值范圍是_______

錯解:由|x-1|<3得:-2<x<4,

又由(x+2)(x+a)=0得x=-2或x=-a,

因為:A是B的充分不必要條件,

所以:

所以:-a>4故選D.

錯因:忽略了a=-4時,

此時A是B的充要條件,不是充分不必要條件.

 

正解:由|x-1|<3得:-2<x<4,

又由(x+2)(x+a)=0得x=-2或x=-a,

因為:A是B的充分不必要條件,

所以:

所以:-a>4故選C.

責任編輯:狂人阿昌

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編輯:特約講師
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