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高中數學:數學歸納法

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數學歸納法


數學歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質,推斷該類事物全體都具有的性質,這種推理方法,在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。
數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法,在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法,論證的第一步是證明命題在n=1(或n)時成立,這是遞推的基礎,第二步是假設在n=k時命題成立,再證明n=k+1時命題也成立,這是無限遞推下去的理論依據,它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般,實際上它使命題的正確性突破了有限,達到無限。這兩個步驟密切相關,缺一不可,完成了這兩步,就可以斷定“對任何自然數(或n≥n且n∈N)結論都正確”。由這兩步可以看出,數學歸納法是由遞推實現歸納的,屬于完全歸納。
運用數學歸納法證明問題時,關鍵是n=k+1時命題成立的推證,此步證明要具有目標意識,注意與最終要達到的解題目標進行分析比較,以此確定和調控解題的方向,使差異逐步減小,最終實現目標完成解題。
運用數學歸納法,可以證明下列問題:與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。


常見數學歸納法及其證明方法


(一)第一數學歸納法
一般地,證明一個與正整數n有關的命題,有如下步驟
(1)證明當n取第一個值時命題成立,對于一般數列取值為1,但也有特殊情況,
(2)假設當n=k(k≥[n的第一個值],k為自然數)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。
(二)第二數學歸納法
對于某個與自然數有關的命題, 
(1)驗證n=n0時P(n)成立,
(2)假設no<n<k時P(n)成立,并在此基礎上,推出P(k+1)成立。
綜合(1)(2)對一切自然數n(>n0),命題P(n)都成立,
(三)螺旋式數學歸納法
P(n),Q(n)為兩個與自然數有關的命題,
假如(1)P(n0)成立,
(2)假設P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假設Q(k)成立,能推出P(k+1)成立,綜合(1)(2),對于一切自然數n(>n0),P(n),Q(n)都成立,
(四)倒推數學歸納法(又名反向數學歸納法)
(1)對于無窮多個自然數命題P(n)成立,
(2)假設P(k+1)成立,并在此基礎上推出P(k)成立,
綜合(1)(2),對一切自然數n(>n0),命題P(n)都成立,

總而言之:歸納法是由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法完全歸納法:數學歸納法就是一種不完全歸納法,在數學中有著重要的地位!

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關鍵詞: 數學歸納法
編輯:特約講師
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