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高中數學定義法解題思路示范

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數學定義法
所謂定義法,就是直接用高中數學定義解題。高中數學中的定理、公式、性質和法則等,都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法,它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。
定義是千百次實踐后的必然結果,它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說,定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題,是最直接的方法,本講讓我們回到定義中去。
數學定義法示范性題組:
例1. 已知z=1+i,  ① 設w=z +3 -4,求w的三角形式;    ② 如果 =1-i,求實數a、b的值。(94年全國理)
【分析】代入z進行運算化簡后,運用復數三角形式和復數相等的定義解答。
【解】由z=1+i,有w=z +3 -4=(1+i) +3 -4=2i+3(1-i)-4=-1-i,w的三角形式是 (cos +isin );
由z=1+i,有 =(a+2)-(a+b)i。
由題設條件知:(a+2)-(a+b)i=1+i;
根據復數相等的定義,得:
解得
【注】求復數的三角形式,一般直接利用復數的三角形式定義求解。利用復數相等的定義,由實部、虛部分別相等而建立方程組,這是復數中經常遇到的。
例2. 已知f(x)=-x +cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=log f(x)的定義域,判定在( ,1)上的單調性。
【分析】要判斷函數的單調性,必須首先確定n與c的值求出函數的解析式,再利用函數的單調性定義判斷。
【解】   解得:  
 ∴ f(x)=-x +x  解f(x)>0得:0<x<1
<x <x <1, 則f(x )-f(x )=-x +x -(-x +x )=(x -x )[1-(x +x )( x +x )],
∵ x +x > , x +x >    ∴ (x +x )( x +x )〉 × =1
∴ f(x )-f(x )>0即f(x)在( ,1)上是減函數
<1   ∴ y=log f(x) 在( ,1)上是增函數。
 

  A’              A
                      D
       C’                C
          O            H
 B’              B  
 

【注】關于函數的性質:奇偶性、單調性、周期性的判斷,一般都是直接應用定義解題。本題還在求n、c的過程中,運用了待定系數法和換元法。
例3. 如圖,已知A’B’C’—ABC是正三棱柱,D是AC中點。
①   證明:AB’∥平面DBC’;
②   假設AB’⊥BC’,求二面角D—BC’—C的度數。(94年全國理)
數學定義法解題的思路】 由線面平行的定義來證①問,即通過證AB’平行平面DBC’內的一條直線而得;由二面角的平面角的定義作出平面角,通過解三角形而求②問。
【解】 ① 連接B’C交BC’于O, 連接OD
∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱
∴ 四邊形B’BCC’是矩形 
∴ O是B’C中點
△AB’C中, D是AC中點    ∴ AB’∥OD   
∴   AB’∥平面DBC’
②      作DH⊥BC于H,連接OH  ∴ DH⊥平面BC’C
∵ AB’∥OD,  AB’⊥BC’   ∴ BC’⊥OD  
∴ BC’⊥OH  即∠DOH為所求二面角的平面角。
設AC=1,作OE⊥BC于E,則DH= sin60°= ,BH= ,EH=  ;   
Rt△BOH中,OH =BH×EH= , 
∴  OH= =DH    ∴∠DOH=45°,即二面角D—BC’—C的度數為45°。
運用高中數學定義應注意】對于二面角D—BC’—C的平面角,容易誤認為∠DOC即所求。利用二面角的平面角定義,兩邊垂直于棱,抓住平面角的作法,先作垂直于一面的垂線DH,再證得垂直于棱的垂線DO,最后連接兩個垂足OH,則∠DOH即為所求,其依據是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練,在Rt△BOH中運用射影定理求OH的長是計算的關鍵。
此題文科考生的第二問為:假設AB’⊥BC’,BC=2,求AB’在側面BB’C’C的 射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義,先作平面的垂線,連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下:作AE⊥BC于E,連接B’E即所求,易得到OE∥B’B,所以 ,EF= B’E。在Rt△B’BE中,易得到BF⊥BE,由射影定理得:B’E×EF=BE B’E =1,所以B’E=
 

 y
    M  F
      A      x
 

例4. 求過定點M(1,2),以x軸為準線,離心率為 的橢圓的下頂點的軌跡方程。
【分析】運動的橢圓過定點M,準線固定為x軸,所以M到準線距離為2。抓住圓錐曲線的統一性定義,可以得到 建立一個方程,再由離心率的定義建立一個方程。
【數學定義法解題的思路】設A(x,y)、F(x,m),由M(1,2),則橢圓上定點M到準線距離為2,下頂點A到準線距離為y。根據橢圓的統一性定義和離心率的定義,得到:
  ,消m得:(x-1) =1,
所以橢圓下頂點的軌跡方程為(x-1) =1。
運用高中數學定義應注意】求曲線的軌跡方程,按照求曲線軌跡方程的步驟,設曲線上動點所滿足的條件,根據條件列出動點所滿足的關系式,進行化簡即可得到。本題還引入了一個參數m,列出的是所滿足的方程組,消去參數m就得到了動點坐標所滿足的方程,即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時,巧妙地運用了橢圓的統一性定義和離心率的定義。一般地,圓錐曲線的點、焦點、準線、離心率等問題,常用定義法解決;求圓錐曲線的方程,也總是利用圓錐曲線的定義求解,但要注意橢圓、雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當選用。
五、
 

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關鍵詞: 定義法,解題,思路,定義
編輯:特約講師
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